【pg娛樂電子游戲官網】“剪刀全等”！從幾許原理到現代研討，數學思想的進化之路…

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在咱們回憶中學時期的數學知識時，關于。核算形狀面積的公式。或許會在腦海中顯現：矩形是底乘高，三角形是pg娛樂電子游戲官網底乘高再除以2，圓形是π乘以半徑的平方……聽起來好像很簡單直接。

不過，假如咱們上的是古希臘的數學課，那么學到的或許就會徹底不同。

古希臘數學家。歐幾里得。等人以為。面積是幾許學的一部分，而非代數學的。。他們在經典著作《幾許本來》中詳細記載了這種幾許視角。

這種觀念至今依然影響著數學研討，并為數學家們供給了啟示。

現代數學家將歐幾里得的“面積持平”概念稱為。“剪刀全等”。。這個概念根據形狀的剪切和從頭拼貼，引發了許多風趣的數學探究。

它既突顯了幾許學中的一些經典問題，一同也在籠統的現代數學國際中找到了簇新的活力。

咱們或許會覺得這種從剪刀和拼貼開端的辦法有些古怪，但實際上它是數學開展中的一種重要思想辦法。

01。

咱們常常以為一個形狀的面積能夠經過代數公式或微積分來核算出來。

可是，古希臘時期的數學家們關于面積有著不同的觀點，他們將面積視為幾許的概念。

幻想一下，你手里拿著一把剪刀、一些膠帶和一張紙，你被要求經過。直線剪切。的辦法，將這張紙剪成一些碎片，然后能夠恣意地旋轉、翻轉碎片，并終究。將它們粘在一同，拼成一個全新的形狀。（咱們能夠自己實踐一下）。。

圖源：網絡。

經過運用面積的代數公式，咱們能夠核算出。新形狀的面積等于紙的原始面積。。

不管你怎么剪切這個二維形狀，只需終究一切的碎片 都。沒有堆疊地粘在一同。，新形狀的面積和本來形狀的面積總是持平的。

關于歐幾里得來說，面積是經過幾許上的“剪切和粘黏”來堅持不變的衡量。。換句話說，他以為新形狀和原始紙張是“等價的”，而現代數學家則將這種等價關系稱為“剪刀全等”。

那么，這個新形狀能夠是什么姿態的呢？因為咱們只能進行直線剪切，新形狀必定是一個。多邊形。，且沒有一條邊是曲折的。

圖源 ： 網絡。

有一個風趣的問題是：咱們是否能制造出恣意與原始紙張面積相同的多邊形呢？

令人驚奇的是，答案是必定的。，乃至還有一本撒播至今的19世紀攻略，能夠一步一步地教咱們怎么做到這一點。

換句話說，關于多邊形而言，古希臘數學家歐幾里得的面積概念與現代數學中徹底一致。 咱們或許 在 不知情的狀況下，就現已 在核算中 運用了歐幾里得的面積概念。

比方，咱們能夠用剪刀全等來核算五邊形的面積。

經過將五邊形剪切成一些小三角形，然后運用“1/2 × 底 × 高”來核算這些三角形的面積，并將它們相加，咱們就能夠得到終究的答案。

所以說，數學的國際真是美妙無比。

不管是古希臘的幾許學仍是現代的代數公式，它們都在盡力協助咱們了解形狀和面積的概念。

02。

在數學范疇中，剪刀全等這個概念引起了廣泛的評論和研討。

聞名數學家。戴維·希爾伯特。在一個多世紀條件出了一系列。對20世紀數學開展至關重要的問題，其中有一個問題就與剪刀全等有關。

圖源 ： 網絡。

這個問題涉及到三維多面體而不是二維多邊形。

詳細而言，希爾伯特問的是：關于恣意兩個等體積的多面體，是否總能將其中一個多面體切割成有限多個多面體，然后從頭組合成另一個多面體？

希爾伯特的學生。Max Dehn。在問題提出的一年內找到了答案，但他給出的答案與二維狀況十分不同。

他指出，當。多面體被剪切時，體積并不是僅有堅持不變的東西。還有另一種堅持不變的衡量，它由多面體的邊的長度和面與面之間的視點構成，現在被稱為Dehn不變量。

圖源 ： 網絡。

假如兩個 多面體是剪刀全等的，那么它們有必要具有相同的Dehn不變量。

因而，假如能找到兩個體積相同但Dehn不變量值不同的多面體，就能證明希爾伯特第三個問題的答案是否定的，即剪刀全等無法精確描繪三維體積。

而Dehn正是做到了這一點，他證明了一個體積相同的立方體和四面體，卻具有不同的不變量。

這意味著無法將一個四面體剪切成有限數量的碎片，然后從頭組裝成一個體積相同的立方體。

可是，體積和Dehn不變量是否便是咱們需求了解的悉數呢？

數學家花費了整整60年才答復了這個問題。在1965年，瑞士數學家。Jean-Pierre Sydler。證明了答案是必定的，為剪刀全等問題寫下了終究的定論。

這段時刻的數學開展不斷探究新范疇，從代數公式到剪刀全等的概念，數學家們不斷盡力探究更好地了解形狀和面積的辦法。

不管是歐幾里得的幾許概念仍是Dehn的不變量，都為咱們供給了更深化的了解和考慮的視點。

03。

數學中的故事并沒有到此結束。 形狀不僅僅存在于三維空間中，還能夠擴展到更高維度，如四維、一百維乃至三千四百八十五維。

雖然咱們無法直觀地幻想這些獨特的形狀，但一個新式的研討范疇——。廣義剪刀全等。，正企圖處理希爾伯特關于剪刀全等問題在這些獨特形狀上是否也適用的問題。

但現在剪刀全等的界說變得愈加雜亂了。

希爾伯特和Dehn重視的是體積和視點等物理特征，而其他數學家則企圖將這些物理特征轉化為更籠統、無形的概念。

最近，數學家。Jonathan Campbell和Inna Zakharevich發起了一個名為廣義剪刀全等的研討項目。，并提出了一個一致的結構來處理這個問題。

他們運用了一種籠統而看似無關的數學工具包——。代數K理論。，來了解數學目標怎么被分解成根本的組成部分。

經過對K理論的調整和使用，他們將其使用于廣義剪刀全等問題，并拓荒了未來研討的新方向。

歸根到底，剪刀全等是一個詳細的概念，并不需求過于雜亂的數學知識才干了解。

咱們只需求一些耐性、創造力，以及一把剪刀和很多膠帶，就能夠測驗剪切和重組形狀，從中發現數學的趣味。

不管是在三維空間中仍是更高維度中，剪刀全等問題都值得咱們探究和考慮，讓咱們一同敞開數學的美妙之旅吧！

參閱來歷：

百度百科。

微信大眾號【原理】：《 一種陳舊的幾許視角，仍在推進前沿數學研討 》。

超模君 說。

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